Volume e superficie del cono
Calcola volume, superficie laterale, totale e generatrice di coni retti e tronchi di cono.
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Formula e metodo
Cono r=1 m, h=2 m → V=2.094 m³, g=2.236 m, Sl=7.025 m², St=10.28 m².
Volume del cono
Il cono è il solido generato dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno a un cateto. Il volume è: V = (1/3) × π × r² × h = (1/3) × A_base × h, un terzo del cilindro circoscritto. La superficie laterale è: S_lat = π × r × g, dove g = √(r² + h²) è la generatrice (apotema).
Tronco di cono
Il tronco di cono (cono con vertice tagliato) ha volume: V = (π×h/3)(R² + Rr + r²), dove R e r sono i raggi delle basi. Per r → 0 si ritrova il cono; per r → R si ottiene il cilindro. Il tronco di cono è la forma di molti contenitori (secchi, bicchieri, imbuti).
Angolo al vertice
L'angolo al vertice α del cono si calcola da: tan(α/2) = r/h. Un cono con r = h ha α ≈ 90°. Lo sviluppo piano della superficie laterale è un settore circolare di raggio g e angolo 2π×r/g radianti. Questo è utile per la costruzione di coni in lamiera o carta.
Applicazioni
Imbuti, tramogge, cumuli di materiale sfuso, punte di utensili, altoparlanti a cono, diffusori. Per un cumulo conico di sabbia, il volume dipende dall'angolo di natural riposo del materiale (circa 30-35°). Il calcolatore determina volume e superfici per dimensionamenti e computi.
Domande frequenti
V = πr²h/3. È 1/3 del cilindro di pari base e altezza. Per r=5, h=12: V = 3,14 × 25 × 12 / 3 = 314 cm³.
S_lat = πrs, dove s = apotema = √(r²+h²). Per r=5, h=12: s = √(25+144) = 13, S_lat = 3,14 × 5 × 13 = 204 cm². Superficie totale: +πr² (base).
h = 3V/(πr²). Per V = 500 cm³ e r = 5: h = 1500/(3,14×25) = 19,1 cm.
È un cono tagliato parallelamente alla base. V = πh(R² + Rr + r²)/3. R e r sono i raggi delle due basi.
Si dimostra con il calcolo integrale. Intuitivamente: il cono si 'restringe' verso l'apice, quindi contiene meno materiale di un cilindro di uguale base e altezza.