Momento di Inerzia: Rotazione e Dinamica dei Corpi Rigidi
Cos'è il momento di inerzia
Il momento di inerzia (I) è la resistenza di un corpo alla variazione della sua velocità angolare, analogo alla massa per il moto lineare. Si misura in kg·m². Dipende dalla massa e dalla sua distribuzione rispetto all'asse di rotazione: I = Σ mᵢrᵢ².
Formule per corpi standard
Cilindro pieno (asse centrale): I = ½mR². Cilindro cavo: I = ½m(R₁² + R₂²). Sfera piena: I = ⅖mR². Sfera cava: I = ⅔mR². Asta sottile (asse centrale): I = 1/12 mL². Disco: I = ½mR². Anello: I = mR².
Teorema di Steiner (assi paralleli)
Se conosci il momento di inerzia rispetto a un asse baricentrico (Ig), puoi calcolare I rispetto a qualsiasi asse parallelo distante d: I = Ig + md². Esempio: asta (asse centrale) I = 1/12 mL², asta (estremità) I = 1/12 mL² + m(L/2)² = 1/3 mL².
Energia cinetica rotazionale
L'energia di un corpo che ruota è: Ek = ½Iω², dove ω è la velocità angolare in rad/s. Per un volano da 50 kg con R = 0,3 m a 3000 rpm (314 rad/s): I = ½×50×0,09 = 2,25 kg·m², Ek = ½×2,25×314² = 111 kJ.
Domande frequenti
No, dipende solo dalla massa e dalla sua distribuzione rispetto all'asse di rotazione. È una proprietà geometrica del corpo.
Conservazione del momento angolare: L = Iω = costante. Riducendo I (braccia vicine al corpo), ω aumenta proporzionalmente.
Per corpi semplici si calcola con le formule. Per corpi complessi si misura sperimentalmente con il pendolo torsionale o si calcola con software CAD 3D.
Il raggio k tale che I = mk². Rappresenta la distanza alla quale tutta la massa dovrebbe essere concentrata per avere lo stesso momento di inerzia. k = √(I/m).
Per travi e profili si usa il momento di inerzia della sezione (Ix, Iy in cm⁴), diverso dal momento di inerzia di massa. È fondamentale per il calcolo della freccia e dell'instabilità.